Математическая теория сбережений рамсеей

Условно предполагается, что решения этого домохозяйства эквивалентны решениям бесконечно живущего индивида, который учитывает текущее и будущее благосостояние и ресурсы.

Функция полезности этого индивида, представляющего все население имеет вид: , где — потребление на душу населения в момент времени ; — положительный коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида.

Доходы «индивида» складываются из заработной платы и доходов от активов , принадлежащих ему и имеющих

Теория сбережений

При сбережении происходит своего рода «жертвование» текущим потреблением ради потребления будущего. Основной принцип сбережений такой: человек сберегает определенную часть дохода тогда и только тогда, когда ожидаемая полезность потребления этой суммы в будущем выше, чем полезность потребления ее в настоящем.

Сбережения образуются преимущественно в денежной форме. Та самая доля доходов, которую население готово откладывать, называется сберегательной квотой.

Финансовые ресурсы, материальную основу которых составляют деньги, имеют временную ценность. Временная ценность финансовых ресурсов может рассматриваться в двух аспектах.

Korholding.ru

Чем выше налоговые поступления, тем при прочих равных условиях значительнее избыточное бремя (если собираемый налог вообще оказывает искажающее действие). Требования справедливости, если они предполагают достижение большего равенства, также могут вступать в конфликт со стремлением уменьшить избыточное бремя.

Следовательно, задача состоит в минимизации избыточного бремени имеющихся в распоряжении государства налогов при заданной величине налоговых поступлений и некоторых ограничениях на распределение доходов.

Величина последнего, как известно, зависит от эластичности спроса и предложения.

Одной из характерных особенностей последних десятилетий стал рост значения в экономике личных сбережений, их использование на инвестиционные цели.

Например, в ФРГ, Японии, Франции они покрывают более половины суммы чистых инвестиций, а в США – более 2/3. Личные сбережения можно классифицировать по нескольким группам: текущие, на покупку товаров длительного пользования, на непредвиденный случай и старость.

Особым видом сбережений являются инвестиционные сбережения, которые могут быть краткосрочными и долгосрочными.

Под воздействием комплекса факторов в промышленно развитых странах сегодня говорят о новом качестве сбережений, что находит свое внешнее проявление в следующих тенденциях: 1) практически полностью исчезли сбережения, предназначенные для покупки товаров и имущества (они полностью вытесняются потребительским кредитом); 2) широкое развитие пенсионных фондов сводит до минимума сбережения,

Они также открыли некоторые математические методы, которые пригодятся учёным следующего столетия.

Возможно, самое важное заключается в том, что теория Рамсея исследует основополагающую структуру математики, т.е.

структуру, пронизывающую всю Вселенную.Прототипом «рамсеевской теоремы» послужила оригинальная теорема самого Рамсея.

Первоначально доказанная в связи с некоторыми вопросами разрешимости в логике, она оказалась тем плодотворным зерном, из которого выросла большая часть рамсеевской теории.

Прежде всего рассмотрим (как и Рамсей) бесконечный случай.Теорема Рамсея (бесконечный случай).Для всех k, r   и произвольного r-раскрашивания :

множества всехk –элементных подмножеств множества  всегда найдется бесконечное подмножество S   со всеми своими k-элементными подмножествами, имеющими один и тот же цвет.

Теорема Рамсея (конечный случай).

Теории сбережения в современной макроэкономике

Средства, не потребленные в текущем периоде, приобретают три основные формы: вклады в коммерческие банки и ценные бумаги, валютные сбережения, денежные остатки на руках.

Данные формы сбережений различны с точки зрения срочности, мобильности, возможности трансформации в инвестиции. Во-вторых, сбережения можно определить как часть дохода, оставшаяся после уплаты налогов, которая не потребляется.

То есть сбережения рассматриваются в разрезе составляющей части дохода за текущий год, которая не выплачивается в качестве налогов или не затрачивается на покупку потребительских товаров, а поступает на банковские счета, вкладывается в страхование, облигации, акции и другие финансовые активы [2, с.

66-72]. От развития производства население получает всеувеличивающиеся доходы. После уплаты подоходного налога и других обязательных платежей доход поступает в личное распоряжение и может быть использован на текущее потребление, или на сбережение.

В 1928году Фрэнк Пламптон Рамсей, английский математик, философ и экономист, доказал, что такие упорядоченные конфигурации неизбежно присутствуют в любой большой структуре, будь то группа звёзд, совокупность случайно разбросанных камешков или последовательность чисел, полученных бросанием игральной кости.

Если речь идёт о достаточно большом количестве звёзд, то всегда можно найти группу, которая с очень большой точностью образует какую-нибудь заданную конфигурацию: прямую линию, прямоугольник или, если уж мы заговорили о звёздах, большой ковш.

Фактически теория Рамсея утверждает, что любая структура обязательно содержит упорядоченную подструктуру. Как впервые провозгласил около четверти века назад умерший недавно американский математик Теодор С.

Моцкин, из теории Рамсея следует, что полный беспорядок невозможен.

Специалисты по теории Рамсея стараются вычислить, сколь велико должно быть

72 в мире науки- 1990/№9

Все точно известные числа Рамсея приведены выше, кроме числа Рамсея для четырех красных и четырех синих, диаграмма для которого изображена на предыдущей странице.

(На некоторых диаграммах синие ребра для простоты не показаны.) Относительно числа Рамсея для трех красных и восьми синих было доказано, что оно больше 27 и меньше или равно 29.

Недавно было показано (но пока не подтверждено), что оно равно 28.

Теорию Рамсея можно сформулировать в еще более общем виде.

Если число объектов в совокупности достаточно велико и каждые два объекта \ связывает одно из набора отношении, [ то всегда существует подмножество ‘| данной совокупности, содержащее за-f данное число объектов, и при э i ом такое, что в нем все объекты связаны отношением одного типа, Фрэнк Рамсей, впервые доказавший это утверждение в 1928 г., вырос в Кембридже (Англия). Ею отец, Артур С. Рамсей, был профессором математики и президентом колледжа Магдалины Кембриджского университета.

Теория Рамсея

Вопрос о значениях чисел Рамсея за небольшим исключением остается открытым.

Сходна по формулировке, но отличается доказательством теорема Ван-дер-Вардена (): Для всякого набора чисел

существует такое число W, что, как бы мы не покрасили первые W натуральных чисел в n цветов, найдётся либо 1-го цвета длины , либо арифметическая прогрессия 2-го цвета длины , …, либо арифметическая прогрессия n-го цвета длины . Вместо множества натуральных чисел можно рассмотреть решётку

, а арифметических прогрессий — фигуры в ней, гомотетичные данной, и утверждение теоремы останется верным (обобщённая теорема Ван-дер-Вардена).

Источник: https://27advokat.ru/matematicheskaja-teorija-sberezhenij-ramseej-48094/

Задача потребительского выбора[править | править код]

Рассматривается репрезентативное домашнее хозяйство. Условно предполагается, что решения этого домохозяйства эквивалентны решениям бесконечно живущего индивида, который учитывает текущее и будущее благосостояние и ресурсы. Функция полезности этого индивида, представляющего все население имеет вид:

где — потребление на душу населения в момент времени ; — положительный коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида.

Функция полезности является сепарабельной, то есть зависит только от потребления в этот момент.

Эксперимент считается успешным, если в результате такой случайной раскраски не образуется ни красной, ни синей сети из 34 точек.

Как бы он мог гарантировать успех? Любые 34 точки соединяются 561 ребром.

Если первое бросание предписывает синий цвет для первого ребра, то для получения синей сети необходимо, чтобы следующие 560 бросаний тоже предписывали синий цвет. Вероятность того, что это произойдёт, равна 2–561.

Вероятность появления красной сети точно такая же, так что общая вероятность возникновения одноцветной сети вдвое больше, или примерно 2,6×10–169.

Теперь вспомним, что число наборов из 34 точек, выбранных из миллиона точек, равно

1 000 000!

34! · 999 966!

≈ 3,4×10165.

Тем самым можно ожидать, что из всех возможных полных сетей из 34 точек одноцветными будут 3,4×10165×2,6×10–169, или приблизительно 0,001.

В то время Эрдёш был девятнадцатилетним студентом Будапештского университета, а Шекереш незадолго до этого получил диплом инженера-химика в Будапештском политехническом институте. Вместе с группой друзей-студентов они почти каждое воскресенье встречались в загородном парке, в основном для разговоров о математике.

Зимой 1933 года одна из студенток, Эстер Клейн, предложила друзьям решить любопытную задачу; доказать, что если пять точек на плоскости расположены таким образом, что никакие три точки не лежат на одной прямой, то обязательно найдутся четыре из них, образующие выпуклый четырёхугольник. (К выпуклым фигурам относится, скажем, правильный шестиугольник, но не относится пятиконечная звезда.

Для двух товаров это означает равенство: t А /t В = еD B /еD А , где t A и t В — налоговые ставки, а еD B и еD А – величины эластичности спроса.

Итак, мы приходим к выводу: dQ А /Q А = dQ B /Q B , иными словами, при оптимальном налогообложении физический объем производства (продаж) каждого из товаров сокращается в одинаковой пропорции. Это утверждение называется правилом Рамсея. Естественно, предполагается, что в доналоговой ситуации имело место конкурентное равновесие.

Если отказаться от использованного выше допущения об абсолютно эластичном предложении, оптимальные налоги Рамсея приобретают несколько более сложный вид: ti = k (1/eDi + 1/esi ), где ti – оптимальное значение налоговой ставки на i-й товар, k — коэффициент пропорциональности, который зависит от величины налоговых поступлений, еDi – эластичность компенсированного спроса на этот товар, a esi.

В попытках получить такие раскраски исследователи используют богатый арсенал приёмов из теории чисел, теории множеств и других разделов математики. Хотя полученные при этом результаты интересны, они пока не достигают которые даёт метод бросания монеты.

Значительная часть ранних исследований по теории Рамсея была посвящена множествам точек и линий, но всё же во многих из них рассматривались и множества чисел. Голландский математик Бартель Л. Ван дер Варден начал решать такие задачи ещё до того, как Рамсей доказал свою теорему.

В 1926 году Ван дер Варден встретился с интересной задачей, связанной с арифметическими прогрессиями.
Как следует из самого названия, арифметическая прогрессия — это такая последовательность чисел, в которой разность между двумя соседними членами остаётся постоянной.

Она была также обобщена им на случай гиперграфа.

Минимальное число , при котором для заданного набора аргументов существует указанная в теореме раскраска, называется числом Рамсея. Вопрос о значениях чисел Рамсея за небольшим исключением остается открытым.

Теорема Ван-дер-Вардена

Сходна по формулировке, но отличается доказательством теорема Ван-дер-Вардена (англ.):

Для всякого набора чисел существует такое число W, что, как бы мы не покрасили первые W натуральных чисел в n цветов, найдётся либо арифметическая прогрессия 1-го цвета длины , либо арифметическая прогрессия 2-го цвета длины , …, либо арифметическая прогрессия n-го цвета длины .

В противном случае Дебора, Эдвард и Фрэнсис друг с другом знакомы. Всего в шести предложениях мы доказали, почему любая группа из шести человек должна включать или трёх знакомых, или трёх незнакомых людей. Короче говоря, решение «головоломки о вечеринке» есть частный случай теории Рамсея.

Обобщая этот частный случай, мы можем сформулировать теорему в её полном виде.
Вместо шести человек, как в этой задаче, мы можем взять любое число людей или, если хотите, любое число объектов. Кроме того, нет нужды ограничиваться двумя типами отношений, знакомства и незнакомства. Мы можем взять любое число взаимоисключающих отношений — например друзья, враги и соблюдающие нейтралитет.

Теорию Рамсея можно сформулировать в ещё более общем виде.

Источник: https://pravo60.ru/matematicheskaya-teoriya-sberezhenij-ramseej

/ Корпоративное страхование / Математическая теория сбережений рамсеей

Модель экономического роста Рамсея (Рамсея – Касса – Купманса)

25Модель Ф. Рамсея – Д. Касса – Т.

Купманса или модель Рамсея – модель эндогенного экономического роста, в которой «траектория» потребления и сбережений определяются на основе решения задачи оптимизации домашних хозяйств и фирм в условиях совершенной конкуренции.

Ее составными частями стали: 1) условие оптимальности и межвременная функция полезности домохозяйств Ф. Рамсея (1928); 2) метод оптимального потребления в неоклассической модели роста на основе эндогенной ставки сбережения Д.

Касса (1965) и Т. Купмпанса (1963). В модели используется репрезентативное домашнее хозяйство с динамикой его потребительского и сберегательного поведения.

Предполагается закрытая экономика с реальными переменными (в единицах товаров и услуг) в условиях совершенной конкуренции. Условно предполагается, что решения этого домохозяйства эквивалентны решениям бесконечно живущего индивида, который учитывает текущее и будущее благосостояние и ресурсы.

Модель Рамсея — Касса — Купманса

Модель Рамсея — Касса — Купманса (модель Рамсея) — неоклассическая модель равновесного эндогенного экономического роста, в которой «траектория» потребления и сбережений определяются на основе решения задачи оптимизации домашних хозяйств и фирм в условиях совершенной конкуренции.

2.4 Модифицированное золотое правило
1 История создания
3 Анализ модели
2.3 Общее экономическое равновесие
4 Примечания
2.1 Задача потребительского выбора
2.2 Задача фирмы
2 Описание модели
- 2.1 Задача потребительского выбора
- 2.2 Задача фирмы
- 2.3 Общее экономическое равновесие
- 2.4 Модифицированное золотое правило
3 Анализ модели
4 Примечания

Рекомендуем прочесть: Вода в составе бензина

История создания В 1928 году